当前聚焦：2023数分每日一题学习感悟-Day13(一致连续三)
一、总体感受
对于day13的学习而言，感觉其中综合运用了各种微分方面的定理（如Cauchy中值定理、Lagrange中值定理等）以及Cauchy准则、Lipschitz条件、三角形不等式的使用等内容又一次整体性的复习，收获还是不小的。
1、Cauchy中值定理
【资料图】
2、Lagrange中值定理
3、Cauchy准则
4、Lipschitz条件
5、三角形不等式
二、做题的整体思路
还是先放缩，再补充语言
二、具体题目
（一）华东理工、西南大学、北邮
本题是课本例题，很基础同时很经典
思路：1、利用极限存在，由局部有界性得到一个界
2、观察这个极限，发现两个函数根号x与f(x)在[0,δ']上可导，因此可以利用Cauchy中值定理。注意对x是否=y做出讨论
3、利用根号x的一致连续，且2中得到的不等式，分两段讨论。利用一元函数可导必连续，以及闭区间上的连续和一致连续性质做出来。
（二）大连理工
观察到导数有界，知道本题很可能利用Lagrange中值定理，其次本题也是对三角形不等式的运用的复习。严格按照定义证明即可。
思路：1、要证一致连续，使用定义，先不取δ，最后要啥再取δ，使数据完美。
2、根据缺的，利用其他条件（如导数有界、三角形不等式），得出一致连续的定义。
注意：写的时候就是先放缩，再补充语言。
（三）太原理工
把（1）做出后，（2）再去构造一下即可，是之前的课本题，关键在（1），利用Lagrange中值定理以及Cauchy准则，从极限入手做。
（1）问思路：
1、利用极限存在，由局部有界性，得到|f'(x)|<|A|+1.
2、利用Lagrange中值定理，结合1中导数界限，确定δ的范围。
3、利用Cauchy准则，知道函数在端点a处极限存在。b处同理。
（2）问思路：构造F（x）,利用连续的相关性质作出，很简单。
（四）吉林大学
整体比之前更难，2种证法，这里只展示证法2，证法1见专栏“对Lipschitz条件的进一步理解”。证法2相对更好理解。
思路：同上，先放缩，再补充语言。
1、先写出一致连续的定义，放缩，找到需要的函数的界限，这里需要的是x/f(x)和f(x）的界限。放缩过程中涉及三角形不等式以及充分利用题干条件，多写几次，感悟放缩套路。
2、去赋值，取x2=x>1,x1=1，利用题干条件，使用2次保号性得到x/f(x)和f(x）的界限，最终确定δ取什么，最终得到一致连续的定义。
补充说一句：证法1是把要证的两个式子拆开，分别证明一致连续。
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